Question

5．正方形ABCD，AB=4，E是CD中点，BF=3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN=$\sqrt{2}$，求四边形EMNF周长的最小值$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH=MN=$\sqrt{2}$，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，进而得出HN=GM=EM，
过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG=∠HQF=90°，PQ=AB=4，当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF=HF（最短），此时ME+NF最短，最后根据勾股定理求得HF和EF的长，即可得到四边形EMNF周长的最小值．

解答 解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，
连接GM，过G作BD的平行线，截取GH=MN=$\sqrt{2}$，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，
∴HN=GM=EM，
过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG=∠HQF=90°，PQ=AB=4，
∵∠PGH=∠ADB=45°，
∴HP=PG=$\frac{HG}{\sqrt{2}}$=1，HQ=4-1=3，
由轴对称的性质，可得DG=ED=2，
∴AP=4-2-1=1，
∴BQ=1，
又∵BF=3CF，BC=4，
∴CF=1，
∴QF=4-1-1=2，
∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF=HF（最短），
此时ME+NF最短，
∴Rt△HQF中，FH=$\sqrt{H{Q}^{2}+F{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即ME+NF最短为$\sqrt{13}$，
又∵Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴ME+NF+MN+EF=$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
∴四边形EMNF周长的最小值为$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形和直角三角形，依据两点之间，线段最短进行求解．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．