Question

【题目】如图，点P为抛物线L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）（其中a为常数，且a＜0）的顶点，L与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与L交于点A，过点A作x轴的垂线，与射线OP交于点B，连接OA

（1）a＝﹣2时，点P的坐标是　 　，点B的坐标是　 　；

（2）是否存在a的值，使OA＝OB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由

（3）若△OAB的外心N的坐标为（p，q），则

①当点N在△OAB内部时，求a的取值范围；

②用a表示外心N的横坐标p和纵坐标q，并求p与q的关系式（不写q的取值范围）．

Answer 1

【答案】（1）（3，2），（6，4）；（2）不存在，见解析；（3）①﹣＜a＜0；②N横坐标p＝ a2+3，N纵坐标q＝3a ；p＝q2+3

【解析】

（1）按照题意逐步计算：先把a＝﹣2代入抛物线求出顶点P及与y轴交点C的坐标，得到直线OP解析式．由AC∥x轴可知A、C关于抛物线对称轴对称，进而求出点A．由AB⊥x轴可得B的横坐标与A相同，再代回直线OP即求得B的纵坐标．

（2）按照（1）的解题思路，先用a表示点P、C，然后得到点A坐标，即得到点B横坐标，再代回直线OP求得点B坐标．由于点A、B到x轴距离不相等，x轴不能垂直平分AB，故不存在a使OA＝OB．

（3）①锐角三角形的外心会落在三角形内部，而∠OAB与∠OBA一定小于90°，则∠AOB<90°，可得OA2+OB2>AB2，把含a的式子代入即得到关于a的不等式，结合a<0得到a的取值范围；

②外心N为△OAB三边垂直平分线交点，由AB⊥x轴即可得点N纵坐标q＝3a，由ON＝AN列得关于a、p的等式，整理即得到用a表示p．再把a＝q代入即得到p关于q的关系式．

解：（1）∵a＝﹣2

∴抛物线L：y＝﹣2（x﹣2）（x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2

∴顶点P（3，2），C（0，﹣16）

∴直线OP解析式为：y＝x

∵AC∥x轴

∴yA＝yC＝﹣16，A、C关于直线x＝3对称

∴A（6，﹣16）

∵AB⊥x轴

∴xB＝xA＝6

∴yB＝×6＝4，即B（6，4）

故答案为：（3，2）；（6，4）．

（2）不存在a的值使OA＝OB，理由如下：

∵抛物线L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）＝ax2﹣6ax+8a＝a（x﹣3）2﹣a

∴顶点P（3，﹣a），C（0，8a）

∴直线OP解析式为：y＝﹣x

∴A（6，8a）

∴yB＝﹣×6＝﹣2a

∵a≠0

∴|yA|≠yB，即x轴不平分AB

∴OA≠OB

（3）①∵△OAB的外心N在其内部

∴△OAB是锐角三角形

∴∠AOB<90°

∴OA2+OB2>AB2

∵A（6，8a），B（6，﹣2a）

∴62+（8a）2+62+（﹣2a）2>（8a+2a）2

解得：﹣<a<0

②∵外心N在AB的垂直平分线上，AB⊥x轴

∴q＝＝3a

∴N（p，3a），a＝

∵ON＝AN，即ON2＝AN2

∴p2+（3a）2＝（6﹣p）2+（8a﹣3a）2

整理得：p＝a2+3

把a＝代入得：p＝q2+3．