Question

【题目】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC．过点P作PE^PC，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE．
（1）情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1 所示；
情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP＜AB时，请依题意补全图2；．

（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：∠ACP=∠DPB；
②用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：补全图形如图①所示

（2）

解：情况一：

①证明：如图②，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵PD=PC，

∴∠1=∠D，

∵∠ACB=∠1+∠2=45°，∠ABC=∠D+∠=45°，

∴∠3=∠2，

即∠ACP=∠DPB；

②BC= BP+BE；理由：

证明：如图③过P作PF⊥PB交BC于F，

∵PF⊥PB，

∴∠BPF=90°，

∵EP⊥PC，

∴∠EPC=90°，

∴∠4+∠5=∠6+∠5，

∴∠4=∠6，

∵∠PBF=45°，

∴∠PBF=∠PFB=45°，

∴PB=PF，

在△PBE与△PFC中，

，

∴△PBE≌△PFC，

∴BE=FC，

∵BF= BP，

∴BC=BF+FC= BP+BE．

情况二：①如图④，

∵PD=PC，

∴∠PDC=∠PCD，

∵∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠3=∠PDC﹣45°，∠ACP=∠PCD﹣45°

，∴∠BPD=∠ACP；

②如图④，过P作PF⊥PB交BC于F，

∵PF⊥PB，

∴∠BPF=90°，

∵EP⊥PC，

∴∠EPC=90°，

∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°，

∴∠4=∠6，

∵∠PBF=45°，

∴∠PBF=∠PFB=45°，

∴PB=PF，

在△PBE与△PFC中，

，

∴△PBE≌△PFC，

∴BE=FC，

∵BF= BP，

∴BC=BF﹣FC= BP﹣BE．

【解析】（1）根据题意补全图形即可；（2）情况一：①根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰三角形的性质得到∠1=∠D根据三角形的外角的性质即可得到结论；②根据余角的性质得到∠4=∠6，由等腰直角三角形的性质得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根据全等三角形的性质得到BE=FC，由勾股定理得到BF= BP，即可得到结论；
情况二：①，根据等腰三角形的性质得到∠PDC=∠PCD，由∠ABC=∠ACB=45°，于是得到∠3=∠PDC﹣45°，∠ACP=∠PCD﹣45°，即可得到结论；根据余角的性质得到∠4=∠6，根据等腰直角三角形的性质得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根据全等三角形的性质得到BE=FC，根据勾股定理得到BF= BP于是得到结论．