Question

4．如图，一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，4）．O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，则当P点坐标为（0，1）时，PC+PD的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先由中点坐标公式求得点D、C的坐标，然后作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴与点P，由题意可知点O是CC′的中点，故此OP=$\frac{1}{2}DC$=1，从而可求得点P的坐标，由两点之间的距离公式可求得C′D的长度即可．

解答 解：如图所示；作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴与点P．

∵A（2，0）、B（0，4），点C、D分别为OA、AB的中点，
∴D（1，2）、C（1，0）．
∵点C′与点C关于y轴对称，
∴点C′（-1，0），PC=PC′．
∴O为CC′的中点．
∴OP=$\frac{1}{2}DC$=1．
∴P（0，1）．
∴PD+PC=PD+PC′=C′D．
由两点间的距离公式可知；C′D=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：（0，1）；2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，明确点C′，P，D在一条直线上时PC+PD有最小值是解题的关键．