【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.
(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;
(2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;
(3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)N(3,0);(3)OM=AC.
【解析】
试题分析:(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)可设N(n,0),则可用n表示出△ABN的面积,由NM∥AC,可求得,则可用n表示出△AMN的面积,再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值,即可求得N点的坐标;
(3)由N点坐标可求得M点为AB的中点,由直角三角形的性质可得OM=AB,在Rt△AOB和Rt△AOC中,可分别求得AB和AC的长,可求得AB与AC的关系,从而可得到OM和AC的数量关系.
试题解析:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得
,
解得,
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4;
(2)设点N的坐标为(n,0)(﹣2<n<8),
则BN=n+2,CN=8﹣n.
∵B(﹣2,0),C(8,0),
∴BC=10,
在y=﹣x2+x+4中,令x=0,可解得y=4,
∴点A(0,4),OA=4,
∴S△ABN=BNOA=(n+2)×4=2(n+2),
∵MN∥AC,
∴
∴,
∴
∵﹣<0,
∴当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;
(3)当N(3,0)时,N为BC边中点,
∵MN∥AC,
∴M为AB边中点,
∴OM=AB,
∵AB=,AC=,
∴AB=AC,
∴OM=AC.
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【题目】荔枝是深圳的特色水果,小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍,共花费90元;后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍,共花费55元.(每次两种荔枝的售价都不变)
(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元;
(2)如果还需购买两种荔枝共12千克,要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍,请设计一种购买方案,使所需总费用最低.
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【题目】已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P(,8),Q(4,m)两点,与x轴交于A点.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)写出点P关于原点的对称点P'的坐标;
(3)求∠P'AO的正弦值.
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【题目】在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转运甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一份内为止).
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果;
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
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