Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质知∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠CAF，即∠EAF=2∠BAC=90°；而∠E=∠ADB=∠F=∠ADC=90°，由此可证得四边形AEMF是矩形；而AE=AF=AD，所以四边形AEMF是正方形；
（2）欲求正方形的面积，需求出正方形的边长，可设正方形的边长为x；由折叠的性质知BE=BD，CD=CF，即可用x表示出BM、MC的长，进而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的边长，即可得到正方形的面积．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD．
又∵△AFC是由△ADC折叠所得，
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD．
∴AE=AF．（2分）
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
∴四边形AEMF是正方形．（5分）

（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x；
根据题意知：BE=BD，CF=CD，
∴BM=x-1；CM=x-2．（7分）
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC²=CM²+BM²
∴（x-1）²+（x-2）²=9，
x²-3x-2=0，
解之得：x1=

3+ 17

2

x2=

3- 17

2

（舍去）．
∴S正方形AEMF=(

3+ 17

2

)2=

13+3 17

2

．（10分）
方法二：设：AD=x
∴S△ABC=

1

2

•BC•AD=

3

2

x
∴S_{五边形AEBCF}=2S_△ABC=3x（7分）
∵S△BMC=

1

2

BM•CM=

1

2

(x-1)(x-2)
且S_{正方形AEMF}=S_{五边形AEBCF}+S_△BMC，
∴x2=3x+

1

2

(x-1)(x-2)即x²-3x-2=0，
解之得：x1=

3+ 17

2

，x2=

3- 17

2

（舍去），
∴S正方形AEMF=(

3+ 17

2

)2=

13+3 17

2

．（10分）

点评：此题考查了图形的折叠变换、正方形的判定、勾股定理以及图形面积的求法，能够根据折叠的性质正确地得到与已知和所求相关的相等角和相等边，是解答此题的关键．