Question

如图，AB是半圆的直径，E是弧BD的中点，连接AE交BD于点F，以AF为底，∠AFD为底角构造等腰△CAF，试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：连接BE，推出∠DBE+∠EFB=90°．由E是弧BD的中点推知∠BAE=∠DBE．则易证∠CAF=∠EFB．故∠EAB+∠CAF=90°，即∠CAB=90°．根据切线的判定推出即可．

解答：解：AC与⊙O相切．
理由如下：如图，连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠EFB=90°．
又∵E是弧BD的中点，
∴弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE．
又∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA．
∵∠CFA=∠EFB，
∴∠CAF=∠EFB．
∴∠EAB+∠CAF=90°，即∠CAB=90°．
∴CA⊥AB，
又∵AB是直径，
∴AC与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．