Question

1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=3，CD=2，点E从点B出发沿线段BA的方向移动到点A停止，连接CE．若△ADE与△CDE的面积相等，则线段DE的长度是$\frac{3\sqrt{13}}{5}$．

Answer 1

分析 当△ADE与△CDE的面积相等时，DE∥AC，此时△BDE∽△BCA，利用相似三角形的对应边成比例进行解答即可．

解答 解：在直角△ACD中，AD=3，CD=2，则由勾股定理知AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵依题意得，当DE∥AC时，△ADE与△CDE的面积相等，此时△BDE∽△BCA，
所以$\frac{DE}{CA}$=$\frac{BD}{BC}$，
因为AD=BD=3，CD=2，
所以$\frac{DE}{\sqrt{13}}$=$\frac{3}{3+2}$，
所以DE=$\frac{3\sqrt{13}}{5}$．
故答案是：$\frac{3\sqrt{13}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线间的距离以及三角形的面积．根据题意得到当DE∥AC时，△ADE与△CDE的面积相等是解题的难点．