Question

5．已知：二次函数y=x²+2x-3与x轴交于点A、点B（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．连接AD、CD，过点A、点C作直线AC．
（1）求点B、D的坐标及直线AC的解析式；
（2）若点E为抛物线上一点，点F为直线AC上一点，且E、F两点的纵坐标都是2，求线段EF的长；
（3）该抛物线上是否存在点P，使得∠APB=∠ADC？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求得A、B的坐标，令x=0，即可求得C的坐标，把抛物线的解析式化成顶点式即可求得顶点D的坐标，根据待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）把y=2分别代入y=x²+2x-3和y=-x-3求得E、F的坐标，即可求得EF的长；
（3）根据A、C、D的坐标求得AD²=20，AC²=18，CD²=2，得出AD²=AC²+CD²，证得△ADC为直角三角形，∠ACD=90°，根据tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{1}$=3，得出∠ADC=∠ABC，因为在抛物线上不存在P，使得∠APB=∠ABC，故该抛物线上不存在点P，使得∠APB=∠ADC．

解答 解：（1）令y=0，则x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点D的坐标为（-1，-4），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-3；
（2）把y=2代入y=x²+2x-3得，2=x²+2x-3，解得x=-1+$\sqrt{6}$或-1-$\sqrt{6}$，
∴E的坐标为（-1+$\sqrt{6}$，2）或（-1-$\sqrt{6}$，2），
把y=2代入y=-x-3得，2=-x-3，解得x=-5，
∴F点的坐标为（-5，2），
∴EF=-1+$\sqrt{6}$+5=4+$\sqrt{6}$，或EF=-1-$\sqrt{6}$+5=4-$\sqrt{6}$，
故EF的长为4+$\sqrt{6}$或4-$\sqrt{6}$；
（3）不存在这样的点，使得∠APB=∠ADC，
 理由：∵A（-3，0），C（0，-3），D（-1，-4），B（1，0），
∴AD²=（-3+1）²+4²=20，AC²=（-3）²+3²=18，CD²=1²+（-3+4）²=2，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ADC为直角三角形，∠ACD=90°，
∴tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3，
在△OCB中：tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{1}$=3，
∴∠ADC=∠ABC，
∵在抛物线上不存在P，使得∠APB=∠ABC，
∴该抛物线上不存在点P，使得∠APB=∠ADC．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了一次函数图象上和二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形的判定以及解直角三角形等，（3）求得∠ADC=∠ABC是解题的关键．