Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转到线段AE，使得AE⊥AB，且点E、D、B恰好在同一直线上，作EM⊥AC于点M．
（1）若线段AD逆时针旋转了54°，求∠CBD的度数；
（2）求证：AB=EM+BC．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=54°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE，根据对顶角相等可得∠BDC=∠ADE，然后利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解；
（2）过点D作DF⊥AB于F，根据同角的余角相等求出∠AEM=∠DAF，再利用“角角边”证明△AEM和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=EM，再根据等角的余角相等求出∠CBD=∠ABD，然后利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DF，利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BFD全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BF，再根据AB=AF+BF等量代换即可得证．

解答：（1）解：由旋转的性质得，AD=AE，∠DAE=54°，
∴∠ADE=

1

2

（180°-∠DAE）=

1

2

（180°-54°）=63°，
∵∠BDC=∠ADE=63°，∠C=90°，
∴∠CBD=90°-∠BDC=90°-63°=27°；

（2）证明：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵AE⊥AB，EM⊥AC，
∴∠AEM+∠EAM=∠DAF+∠EAM=90°，
∴∠AEM=∠DAF，
在△AEM和△DAF中，

∠AEM=∠DAF ∠AME=∠DFA=90° AD=AE

，
∴△AEM≌△DAF（AAS），
∴AF=EM，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∠ABD+∠AED=90°，
∠AED=∠ADE=∠BDC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴CD=DF，
在Rt△BCD和Rt△BFD中，

BD=BD CD=DF

，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BC=BF，
由图可知，AB=AF+BF，
∴AB=EM+BC．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．