Question

如图．AB是半圆O的直径，点C是半径OA上的点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△BCD沿BD折叠得到△BED，BE交半圆O于点F，连接DF
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）连接OD，当OC=AC时，判断四边形ODFB的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵将△BCD沿BD折叠得到△BED，
∴△BCD≌△BED，
∴∠EDB=∠CDB，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB=90°，
∴∠DBO+∠CDB=90°，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠BDO+∠EDB=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是半圆O的切线；

（2）四边形ODFB的形状是菱形，
证明：连接AD，OF，
∵AC=OC，OA=OD，
∴DO=2CO，
∵∠DCO=90°，
∴∠DOC=60°，∠CDO=30°，
∵∠ODB=∠OBD，∠DOC=∠OBD+∠ODB，
∴∠DBO=∠ODB=30°，
∵△BCD≌△BED，
∴∠FBD=∠DBO=30°，
∴∠DOF=2∠DBO=60°，
∴∠AOD=∠DOF=∠FOB=60°，
∴DF=BF=AD，
∵AC=CO，DC⊥OA，
∴AD=OD，
∴OD=OB=BF=DF，
∴四边形ODFB是菱形．
分析：（1）根据折叠得出△BCD≌△BED，推出∠EDB=∠CDB，根据∠DCB=90°，求出∠DBO+∠CDB=90°，求出∠DBO=∠BDO，推出∠BDO+∠EDB=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据直角三角形性质求出∠DOC=60°，求出∠OBD=30°，根据圆周角定理求出∠AOD=∠DOF=∠FOB=60°，推出DF=BF=AD=OD=OB，根据菱形的判定推出即可．
点评：本题考查了切线的判定，折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．