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【题目】如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°-∠ABD;④BD平分∠ADC;⑤∠BDC=∠BAC.
其中正确的结论有( )

A. 5个 B. 4个

C. 3个 D. 2个

【答案】B

【解析】(1)AD平分ABC的外角∠EAC

∴∠EAD=DAC

∵∠EAC=ACB+ABC,且∠ABC=ACB

∴∠EAD=ABC

ADBC

故①正确。

(2)(1)可知ADBC

∴∠ADB=DBC

BD平分∠ABC

∴∠ABD=DBC

∴∠ABC=2ADB

∵∠ABC=ACB

∴∠ACB=2ADB

故②正确。

(3)ADC,ADC+CAD+ACD=180°

CD平分ABC的外角∠ACF

∴∠ACD=DCF

ADBC

∴∠ADC=DCFADB=DBCCAD=ACB

∴∠ACD=ADCCAD=ACB=ABC=2ABD

∴∠ADC+CAD+ACD=ADC+2ABD+ADC=2ADC+2ABD=180°

∴∠ADC+ABD=90°

∴∠ADC=90°-ABD

故③正确,

(4)如果BD平分∠ADC,则四边形ABCD是平行四边形,

∵∠ABD=ADB

AB=AD

∴四边形ABCD是菱形,

∴只有在ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC

故④错误。

(5)∵∠BAC+ABC=ACF

BAC+ABC=ACF

∵∠BDC+DBC=ACF

BAC+ABC=BDC+DBC

∵∠DBC=ABC

BAC=BDC即∠BDC=BAC.

故⑤正确。

故答案为:①②③⑤

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