Question

4．如图所示，在△ABC中，DE⊥AB交AB于E，DE=CD，F在AC上，BD=DF，CF=BE，证明：
（1）∠C=90°；
（2）AB=AF+2EB．

Answer 1

分析 （1）根据SSS推出△FCD≌△BED，根据全等三角形的性质得出∠C=∠DEB即可；
（2）求出∠C=∠AED=90°，根据HL推出Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得出AC=AE即可．

解答 证明：（1）在△FCD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BD}\\{CF=EB}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△FCD≌△BED（SSS），
∴∠C=∠DEB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠C=90°；

（2）∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴AE=AC=AF+CF=AF+BE，
∴AB=AE+BE=AF+BE+BE=AF+2BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能根据全等三角形的性质和判定进行推理是解此题的关键．