Question

9．已知实数$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的整数部分为x，小数部分为y，求$\frac{x+2y}{x-2y-4}$．

Answer 1

分析 化简$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$可得，$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，由$\sqrt{3}、\sqrt{2}$的值估算出$\sqrt{3}+\sqrt{2}$的整数部分为x=3，故小数部分为y=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$-3，然后代入所求式子化简即可．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}≈1.732，\sqrt{2}≈1.414$．
∴整数部分为x=3，小数部分为y=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$-3．
∴$\frac{x+2y}{x-2y-4}$
=$\frac{3+2（\sqrt{3}+\sqrt{2}-3）}{3-2（\sqrt{3}+\sqrt{2}-3）-4}$
=$\frac{3+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-6}{3-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+6-4}$
=$\frac{-3+2（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}{5-2（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{[-3+2（\sqrt{3}+\sqrt{2}）]•[5+2（\sqrt{3}+\sqrt{2}）]}{[5-2（\sqrt{3}+\sqrt{2}）]•[5+2（\sqrt{3}+\sqrt{2}）]}$
=$\frac{-15+4（\sqrt{3}+\sqrt{2}）+4（\sqrt{3}+\sqrt{2}）^{2}}{25-4（\sqrt{3}+\sqrt{2}）^{2}}$
=$\frac{5+4（\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{6}）}{5-8\sqrt{6}}$
=$\frac{[5+4（\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{6}）]（5+8\sqrt{6}）}{（5-8\sqrt{6}）（5+8\sqrt{6}）}$
=$\frac{25+40\sqrt{6}+20\sqrt{3}+20\sqrt{2}+40\sqrt{6}+96\sqrt{2}+64\sqrt{3}+384}{25-384}$
=$-\frac{409+116\sqrt{2}+84\sqrt{3}+80\sqrt{6}}{359}$．

点评 本题考查二次根式的化简求值和估算无理数的大小的相关知识，本题的关键是对二次根式的化简，要注意分母是无理数的要进行分母有理化．