Question

如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：
（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？

Answer 1

解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，
由垂径定理可知AE=AD=x，
易证Rt△ADF∽Rt△AOE，
∴=，即=，解得AF=x²，
∴CD=AB-2AF=2-x²，
∴y=2x+2+2-x²=-x²+2x+4，
∵OA=1，AF=x²，
∴x²＜1
∴0＜x＜；

（2）∵y=-x²+2x+4=-（x-1）²+5，
∴x=1时，周长最大为5．
分析：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，由垂径定理可知AE=AD=x，由三角形相似得相似比，用x表示AF的长，根据CD=AB-2AF表示等腰梯形的上底，可求梯形的周长；
（2）把（1）中梯形周长的表达式配方，可求周长的最大值．
点评：本题考查了二次函数在求梯形周长最值中的运用．关键是利用垂径定理，三角形相似求梯形的上底．