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    如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．
    （1）求证：△ADF∽△CAE；
    （2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

    （1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
    ∴∠DAF=∠ACE；
    ∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
    ∴△ADF∽△CAE；

    （2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE，
    ∴=；
    ∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
    ∴AC==10；
    又F是AC的中点，∴AF=AC=5；
    ∴=，解得CE=；
    ∵E是BC的中点，
    ∴BC=2CE=；
    ∴直角梯形ABCD的面积=×（+8）×6=．
    分析：（1）已知∠DFC=∠AEB，则它们的补角也相等；再由梯形的平行线得出的内错角相等，即可判定两个三角形相似．
    （2）欲求梯形的面积，首先须求出BC的长，那么求出CE的长是解答此题的关键；可在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC的长，进而可求出AF的长；然后根据（1）的相似三角形得出的对应成比例线段，求出EC的长，由此得解．
    点评：此题主要考查了直角梯形的性质以及相似三角形的判定和性质．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．
    （1）求证：AD=BE；
    （2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

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    如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形精英家教网ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
    （1）求证：EB=EF；
    （2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

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    精英家教网如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2．
    （1）求证：BC=CD；
    （2）在边AB上找点E，连接CE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF．连接EF，如果EF∥BC，试画出符合条件的大致图形，并求出AE：EB的值．

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    （2013•深圳二模）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
    （1）求证：EB=EF；
    （2）若EF=6，求梯形ABCD的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切DC边于E点，AD=3cm，BC=5cm．求⊙O的面积．

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