Question

6．如图A，B，C，D在⊙O上，已知AB=10，CD=6，∠A+∠C=90°，则⊙O的半径=$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 延长AO交⊙O于点E，连接BE，根据三角形外角的性质可知∠BOE=∠A+∠B，再由∠A+∠C=90°可知∠A+∠B+∠C+∠D=180°，故∠DOC=∠A+∠B，故可得出△OCD≌△OBE，故BE=CD，再由勾股定理即可得出结论．

解答 解：延长AO交⊙O于点E，连接BE，
∵∠BOE是△AOB的外角，
∴∠BOE=∠A+∠B．
∵∠A+∠C=90°，∠C=∠D，∠A=∠B，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°，
∴∠DOC=∠A+∠B，
∴∠DOC=∠BOE．
在△OCD与△OBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠DOC=∠BOE}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OBE（SAS），
∴BE=CD=6．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴⊙O的半径=$\sqrt{34}$．
故答案为：$\sqrt{34}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．