Question

14．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C作CH⊥AB于H．
（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；
（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C出诊，她先由B地搭车沿公路AB到D处（BD＜AB）转车，再由D地沿DC方向到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，求B、D两地的距离．（结果精确到0.1千米 参考数据：$\sqrt{6}$≈2.449 $\sqrt{3}$≈1.732 $\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 （1）设CH为未知数，分别表示出AH，BH的值，让其相加得40求值即可求得CH的长，进而可求得CB的长；
（2）由CD和BC的数量关系可得CD和CH的数量关系，进而可得HD的长，让BH的长减去DH的长即为BD的距离．

解答 解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH=30°，∠CAH=45°，
∴AH=CH=x，
在Rt△BCH中，tan30°=$\frac{x}{BE}$，
∴BH=$\sqrt{3}$x，
∵AH+HB=AB=40，
∴x+$\sqrt{3}$x=40，
解得x=20$\sqrt{3}$-20，
∴CB=2CH=40$\sqrt{3}$-40．
答：牧民区C到B地的距离为（40$\sqrt{3}$-40）千米；

（2）∵C、D 两地距离是B、C两地距离的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，CH=$\frac{1}{2}$BC，
∴DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（40$\sqrt{3}$-40）=60-20$\sqrt{3}$，BH=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$（20$\sqrt{3}$-20）=60-20$\sqrt{3}$，
∴DH=$\sqrt{2}$CH=20$\sqrt{6}$-20$\sqrt{2}$，
∴BD=BH-DH=（60-20$\sqrt{3}$）-（20$\sqrt{6}$-20$\sqrt{2}$）=60-20$\sqrt{3}$-20$\sqrt{6}$+20$\sqrt{2}$≈4.7．
答：BD之间的距离为4.7千米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用；构造直角三角形，利用勾股定理及特殊的三角函数值求解是解决本题关键．