Question

4．已知⊙O的周长等于6πcm，则它的内接正六边形面积为$\frac{27\sqrt{3}}{2}$cm³．

Answer 1

分析 首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．

解答 解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴⊙O的半径为：3cm，
∵∠AOB=$\frac{1}{6}$×360°=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3cm，
∴AH=$\frac{3}{2}$cm，
∴OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（cm），
∴S_{正六边形ABCDEF}=6S_△OAB=6×$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$（cm²）．
故答案为；$\frac{27\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键．