Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，∠DAC=60°，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S_△AB′C′，S_扇形BAB′，即可得出阴影部分面积．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，∠DAC=60°，
∴DC=$\sqrt{3}$，AD=1．
由旋转的性质可知：D′C′=$\sqrt{3}$，AD′=1，
∴tan∠D′AC′=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D′AC′=60°．
∴∠BAB′=30°，
∴S_△AB′C′=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_扇形BAB′=$\frac{30π（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．
S_阴影=S_△AB′C′-S_扇形BAB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{4}$．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角的度数是解题关键．