Question

【题目】(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.

(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)若AC＝3，∠B＝30°，①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)

Answer 1

【答案】(1)相切 （2）半径：2 面积：

【解析】试题分析：

（1）连结OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；

（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD-S扇形DOE求得即可.

试题解析：(1)相切．理由如下：

如图，连接OD.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切.

(2)①在Rt△ACB和Rt△ODB中，

∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，OB＝2OD.

又OA＝OD＝r，∴OB＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半径是2.

②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，

S阴影＝S△BDO－S扇形CDE＝×2×2－＝2－π.