定义:如图1.点M.N把线段AB分割成AM.MN和BN.若以AM.MN.BN为边的三角形是一个直角三角形.则称点M.N是线段AB的勾股分割点．请解决下列问题:(1)已知点M.N是线段AB的勾股分割点.且BN＞MN＞AM．若AM=2.MN=3.求BN的长,(2)如图2.若点F.M.N.G分别是AB.AD.AE.AC边上的中点.点D.E是线段BC的勾股分割点.且EC＞DE＞BD.求证:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
请解决下列问题：
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．

分析（1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可；
（2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证．

解答（1）解∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，
∴BN²=MN²+AM²=9+4=13，
∴BN=$\sqrt{13}$；

（2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
∴EC²=DE²+DB²，
∴4NG²=4MN²+4FM²，
∴NG²=MN²+FM²，
∴点M，N是线段FG的勾股分割点．

点评此题考查了勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．

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