Question

10．如图，在△ABC中，∠A=60°，两条角平分线BD，CE相交于点O，
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：BC=BE+DC．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和定理与角平分线的性质推理求解．
（2）作△ABC的外接圆，因为∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，所以点O为△ABC的外接圆的圆心，则OB=OC，由此证明△BEC≌△CDB即可．
（3）过点O作OF⊥BC于点F，只需证明BF=BE，CF=CD即可

解答 （1）解：∵BD、CE分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-60°=120°
即：∠BOC的度数120°
（2）证明：作△ABC的外接圆，如下图所示：

∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴点O为△ABC的外接圆的圆心，
∴OB=OC，
∴∠EBC=∠DCB，
在△BEC与△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OCB}\\{BC=CB}\\{∠EBC=∠DCB}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CDB（ASA）
∴CE=BD，
∴OD=OE
（3）证明：过点O作OF⊥BC于点F，如下图所示：

由（2）知：∠EBC=∠DCB=60°，∠DBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=∠CDE=90°，
∴OE=OF=OD，
在Rt△OEB与Rt△OFB中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OB}\end{array}\right.$
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL）
∴BF=BE，同理可证，CF=CD，
∴BC=BF+CF=BE+DC

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC构造一个外接于△ABC的⊙O