Question

14．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，且∠BAC=50°，给出下列四个结论：①BD=CD，②AE=CE，③∠ABE=40°，④劣弧DE的度数为25°．其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②④
• B． ①③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=∠AEB=90°，又由AB=AC，即可判定BD=CD，又由∠BAC=50°，可求得∠ABE的度数，继而判定AE≠CE，然后由三线合一的性质，判定∠BAD=∠CAE，即可求得劣弧DE的度数．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，故①正确；
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠C=65°，
∵∠ABE=90°-∠BAC=40°，故③正确；
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=25°，
∴AE≠CE，故②错误；
连接OE，
∵∠BOE=2∠BAC=100°，
∴$\widehat{BE}$的度数为100°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DE}$，
∴劣弧DE的度数为50°，故④错误．
故选B．

点评 此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．