Question

9．已知：如图，△ABC是等边三角形，点P、E分别是AC、BC的延长线上的点，且AP=CE，点M是BE的中点，PM和BA的延长线相交于点N．
（1）试说明△NAP是等腰三角形；
（2）过点A作AD⊥AB，交PN于点D，试证明ND=2DP．

Answer 1

分析 （1）作PN∥AB交BE于N，先证得△PCN是等边三角形，进而证得CM=NM，然后根据三线合一的性质证得∠CPM=∠NPM=30°，PN⊥BE，根据三角形外角的性质得出∠PAN=120°，然后根据三角形内角和定理得出∠N=30°，从而证得△NAP是等腰三角形；
（2）根据已知求得∠DAP=∠APN=30°，得出AD=PD，然后根据含30°的直角三角形的性质得出ND=2AD，即可证得ND=2DP．

解答 证明：（1）作PN∥AB交BE于N，
∴∠PNC=∠ABC=60°，
∵∠PCN=∠ACB=60°，
∴△PCN是等边三角形，
∴CN=PC，
∵AP=CE，
∴AP-CP=CE-CN，
即AC=EN，
∵BC=AC，
∴BC=EN，
∵BM=EM，
∴CM=NM，
∴∠CPM=∠NPM=30°，PN⊥BE，
∵∠PAN=120°，
∴∠N=30°，
∴∠APN=∠N，
∴PA=AN，
∴△NAP是等腰三角形；
（2）∵AD⊥AB，∠BAC=60°，
∴∠DAP=30°，
∴∠DAP=∠APN=30°，
∴AD=PD，
在RT△DAN中，∠N=30°，
∴ND=2AD，
∴ND=2PD．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．