Question

13．如图，△ABC中，∠B=90°，点M在AB上，AM=BC，作正方形CMDE，连接AD．
（1）求证：△AMD≌△BCM；
（2）点N在BC上，CN=BM，连接AN交CM于点P，试求∠CPN的大小．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得DM=CM，∠DMC=90°，然后根据同角的余角相等求出∠AMD=∠BCM，再利用“边角边”证明△AMD和△BCM全等；
（2）连接CD，根据正方形的对角线平分一组对角求出∠DCM=45°，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAM=∠B=90°，全等三角形对应边相等可得AD=BM，再根据同旁内角互补两直线平行求出AD∥BC，再求出AD=CN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形ANCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得AN∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CPN=∠DCM．

解答 （1）证明：∵四边形CMDE是正方形，
∴DM=CM，∠DMC=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，
∴∠AMD=∠BCM，
在△AMD和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=CM}\\{∠AMD=∠BCM}\\{AM=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BCM（SAS）；

（2）解：如图，连接CD，
∵四边形CMDE是正方形，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠ECM=45°，
∵△AMD≌△BCM，
∴∠DAM=∠B=90°，AD=BM，
∴AD∥BC，
又∵CN=BM，
∴AD=CN，
∴四边形ANCD是平行四边形，
∴AN∥CD，
∴∠CPN=∠DCM=45°．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各性质与各图形的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出平行四边形．