Question

如图，抛物线y=ax²+bx经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB，
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：由A（-4，0）、B（-2，2）在抛物线y=ax²+bx图象上，
得：
解之得：a=-，b=-2，
∴该函数解析式为：y=-x²-2x．

（2）证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C．
∵y=-x²-2x=-（x+2）²+2，
∴线段CO、CA、CB的长度均为2，
∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形，
∴AB=OB
且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°
∴△OAB是等腰直角三角形

（3）解：如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′
其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴．
又∵OB′和A′B′的长度为2，
A′B′中点P的坐标为（，-2），显然不满足抛物线方程，
∴点P不在此抛物线上

（4）解：存在
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y=x
联立抛物线解析式得：
解之得点M（-6，-6），
显然，点M（-6，-6）关于对称轴x=-2的对称点M′（2，-6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（-6，-6）和（2，-6）
∴s_ABOM=S_△ABO+s_△AOM=×4×2+×4×6=16．

分析：（1）将A（-4，0）、B（-2，2）代入抛物线解析式y=ax²+bx，列方程组求a、b的值即可；
（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；
（3）根据△OAB的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A′、B′的坐标，根据中点坐标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断；
（4）存在．过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，根据△OAB为等腰直角三角形，可求直线OM的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作AM′∥OB交抛物线于点M′，联立方程组可求M′的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，根据解析式确定图形的特殊性．