Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0），直线a为过点D（0，﹣1）且平行于x轴的直线．
（1）直接写出点B关于直线a对称的点E的坐标；
（2）若P为直线a上一动点，请求出△PBA周长的最小值和此时P点坐标；
（3）若M为直线a上一动点，且S△ABC=S△MAB ， 请求出M点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）（0，﹣4）
（2）解：∵B、E关于直线a对称，

∴PB=PE，

∴△PBA周长=AB+BP+PA

=AB+PE+PA

∵两点之间线段最段，

∴△PBA周长的最小值=AB+AE= ，

∴直线AE的解析式：y=﹣4x﹣4，

当y=﹣1时，x= ，

∴P点坐标（ ，﹣1）

（3）解：设M（m，﹣1），

当M在第四象限，

∵S△ABC=S△MAB，

∴点M在过C且平行于AB的直线上，

∵直线AB的解析式为：y=2x+2，

设直线CM的解析式为：y=2x+n，

∴0=2×3+n，

∴n=﹣6，

∴直线CM的解析式为：y=2x﹣6，

∴m= ，

∴M（ ，﹣1），

当M在第三象限，

直线AB与直线a交于G（﹣ ，﹣1），

∴ ×（﹣ ﹣m）×（2+1）﹣ ×（﹣ ﹣m）×1= ×4×2，

∴m=﹣5.5，

∴M（﹣5.5，﹣1）．

【解析】解：（1）∵B（0，2），D（0，﹣1）， ∴BD=3，
∵直线a为过点D（0，﹣1）且平行于x轴的直线．
∴BD⊥直线a，
∴点B关于直线a对称的点E的坐标（0，﹣4）；
所以答案是：（0，﹣4）；

【考点精析】利用轴对称-最短路线问题对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．