【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.
①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;
②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1,
∴,
解得:.
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴顶点坐标为(﹣1,4);
(2)
解:令y=﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或x=1,
∴点A(﹣3,0),B(1,0),
作PD⊥x轴于点D,
∵点P在y=﹣x2﹣2x+3上,
∴设点P(x,﹣x2﹣2x+3)
①∵PA⊥NA,且PA=NA,
∴△PAD≌△ANQ,
∴AQ=PD,
即y=﹣x2﹣2x+3=2,
解得x=﹣1(舍去)或x=﹣﹣1,
∴点P(﹣﹣1,2);
②设P(x,y),则y=﹣x2﹣2x+3,
由于P在第二象限,所以其横坐标满足:﹣3<x<0,
∵S四边形PABC=S△OBC+S△APO+S△OPC,
S△OBC=OBOC=×3×1=,
S△APO=AO|y|=×3y=y=(﹣x2﹣2x+3)=﹣x2﹣3x+,
S△OPC=CO|x|=×3(﹣x)=﹣x,
∴S四边形PABC=﹣x2﹣3x+﹣x=6﹣x﹣x2=﹣(x+)2+,
∴当x=﹣时,S四边形PABC最大值=,此时y=﹣x2﹣2x+3=,
所以P(﹣,).
【解析】(1)将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式,利用待定系数法确定抛物线的解析式即可;
(2)①首先求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PE=OA,从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标;
②用分割法将四边形的面积S四边形BCPA=S△OBC+S△OAC , 得到二次函数,求得最值即可.
此题考查了二次函数的综合应用,涉及知识点待定系数法求解析式,分割法求图形面积,二次函数的最值求法.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,若∠BAC=80°,∠C=50°,取AC中点P,连接PO并延长交BC于点M,连接AM,则∠BAM=( )
A.45°
B.30°
C.50°
D.55°
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①abc>0,②a﹣b+c<0,③2a=b,④4a+2b+c>0,⑤若点(﹣2,y1)和(,y2)在该图象上,则y1>y2 . 其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).
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【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式: ;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?
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【题目】某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况,随机抽取一部分学生进行问卷调查,统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图:
请根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)共抽取名学生进行问卷调查;
(2)补全条形统计图,求出扇形统计图中“篮球”所对应的圆心角的度数;
(3)该校共有2500名学生,请估计全校学生喜欢足球运动的人数.
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【题目】五边形ABCDE中,∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC,且满足以点B为圆心,AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F,连接BE,BD.
(1)如图1,求∠EBD的度数;
(2)如图2,连接AC,分别与BE,BD相交于点G,H,若AB=1,∠DBC=15°,求AGHC的值.
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【题目】有六张完全相同的卡片,其正面分别标有数字:﹣2,,π,0,,,将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张卡片,则其正面的数字为无理数的概率是 .
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