Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，

∵CF⊥CE

∴∠4+∠3=90°

∴∠2=∠4，

∴△CDE∽△CBF

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB，

∵B为AF的中点

∴BF=AB，

设CD=BF=x

∵△CDE∽△CBF，

∴ ，

∴ ，

∵x＞0，

∴x= ，

即CD的长为

【解析】（1）先利用矩形的性质得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根据等角的余角相等得到∠2=∠4，则可判断△CDE∽△CBF；（2）先∴BF=AB，设CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到 ，然后利用比例性质求出x即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．