Question

9．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，BH⊥DE于H，交AC于G，求证：AG+CF=2BD．

Answer 1

分析 如图，在CA上取一点K，使得CE=CK，连接EK，DK，BK交DE于I，连接FI．首先证明四边形DBEK是平行四边形，推出DI=IE，BI=IK，推出FI∥BG，推出FG=FK，
推出AF-AG=FC-KC，即BD-AG=CF-BD，由此即可证明．

解答 证明：如图，在CA上取一点K，使得CE=CK，连接EK，DK，BK交DE于I，连接FI．

∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，DE=DF=EF，∠A=∠B=∠C=60°，∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠BED=120°，∠BED+∠FEC=120°，
∴∠BDE=∠FEC，
在△BDE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠C}\\{∠BDE=∠FEC}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF，
∴BD=CE，同理可证AF=EC，
∵CE=CK，∠C=60°，
∴△EKC是等边三角形，
∴∠KEC=∠ABC=60°，EC=EK=BD，
∴BD∥EK，BD=EK，
∴四边形DBEK是平行四边形，
∴DI=IE，BI=IK，
∵FD=FE，
∴FI⊥DE，
∵BG⊥DE，
∴FI∥BG，∵BI=IK，
∴FG=FK，
∴AF-AG=FC-KC=FC-AF，
∴BD-AG=FC-BD，
∴AG+CF=2BD．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．