Question

19．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF平分∠COD，若OB将∠DOE分成2：3两部分，求∠AOF的度数．

Answer 1

分析 先由OE平分∠BOC，得出∠BOC=2∠BOE，再由∠DOE被一直线分成2：3两部分，结合图形可知∠DOB：∠BOE=2：3，或∠DOB：∠BOE=3：2；如果设∠BOD=2x或=3x，根据平角的定义得出∠COD=180°，列出关于x的方程，解方程求出∠DOB的度数，由对顶角相等得出∠AOC=∠BOD，然后根据OF⊥CD可知∠AOF与∠AOC互余．

解答 解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE，
∵∠DOE被一直线分成2：3两部分，
∴∠DOB：∠BOE=2：3或∠DOB：∠BOE=3：2；
若∠DOB：∠BOE=2：3，设∠BOD=2x，则∠BOE=3x，∠BOC=6x，
∵∠COD=180°，
∴2x+6x=180°，
∴2x=45°．
∴∠DOB=45°，
∴∠AOC=∠BOD=45°，
∵OF平分∠COD，
∴∠AOF=90°-∠AOC=45°．
若∠DOB：∠BOE=3：2，设∠BOD=3x，则∠BOE=2x，∠BOC=4x，
∵∠COD=180°，
∴3x+4x=180°，
∴x=（$\frac{180}{7}$）°．
∴∠DOB=（$\frac{540}{7}$）°，
∴∠AOC=∠BOD=（$\frac{540}{7}$）°，
∵OF⊥CD，
∴∠AOF=90°-∠AOC=（$\frac{90}{7}$）°．

点评 本题考查了垂直、角平分线、平角的定义，对顶角相等的性质，难度适中，利用数形结合及方程思想是解题的关键．