Question

9．如图，已知△ABC的一个外角∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分线，且DA的延长线与△ABC的外接圆交于F，连接FB、FC，且FC与AB交于E．
（1）判断△FBC的形状，并说明理由；
（2）请给出一个能反映AB、AC和FA之间数量关系的一个等式，并说明你给出的等式成立．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠FBC=∠CAD=60°，根据圆周角定理得到∠MAD=∠CAD=60°，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）在AB上截取AH=AC，证明△BCH≌△FCA，根据全等三角形的性质得到BH=AF，结合图形解答即可．

解答 解：（1）△FBC是等边三角形，
∵∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分线，
∴∠MAD=∠CAD=60°，
∵四边形AFBC是圆内接四边形，
∴∠FBC=∠CAD=60°，又∠BCF=∠FAB=∠MAD=60°，
∴△FBC是等边三角形；
（2）AB=AC+FA．
理由如下：在AB上截取AH=AC，
∵∠HAC=∠BFC=60°，
∴△AHC是等边三角形，
∴∠ACH=60°，CA=CH，
∵∠FCB=60°，
∴∠BCH=∠FCA，
在△BCH和△FCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CA}\\{∠BCH=∠FCA}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△FCA，
∴BH=FA，
∴AB=BH+AH=FA+AC．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握等边三角形的判定定理、圆内接四边形的性质定理、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．