Question

9．如图，△ABC中，AC=2AB，AD是角平分线，点E在DB的延长线上，AB是△AED的中线．求证：∠1=∠C．

Answer 1

分析 延长AB至F，连接DF，由SAS证明△BDF≌△BEA，得出对应角相等∠F=∠1，证出AF=AC，∠2=∠3，由SAS证明△ADF≌△ADC，得出∠F=∠C，即可得出∠1=∠C．

解答 证明：延长AB至F，连接DF，如图所示：

∵AB是△AED的中线，
∴BD=BE，
在△BDF和△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}&{\;}\\{∠DBF=∠EBA}&{\;}\\{BF=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BEA（SAS），
∴∠F=∠1，
∵AC=2AB，AB=BF，
∴AF=AC，
∵AD是角平分线，
∴∠2=∠3，
在△ADF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠F=∠C，
∴∠1=∠C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线以及角平分线；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．