Question

14．如图，△ABC中，∠BAC=90°，取BF=AB，作DF⊥BC交AC于D，作AE⊥BC于E．
（1）求证：AG=GF．
（2）求证：GF∥AC．

Answer 1

分析 （1）DF⊥BC知∠BAD=∠BFD=90°，根据已知条件可证RT△BAD≌RT△BFD，则∠BDA=∠BDF，DA=DF，进而得到△GAD≌△GFD，得证；
（2）由DF⊥BC，AE⊥BC知AE∥DF，即∠EGF=∠GFD，又∠GFD=∠GAD，故∠EGF=∠GAD，得证．

解答 解：（1）证明：∵DF⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠BFD=90°，
在RT△BAD和RT△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴RT△BAD≌RT△BFD（HL），
∴∠BDA=∠BDF，DA=DF，
在△GAD和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DF}\\{∠GDA=∠GDF}\\{GD=GD}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△GFD（SAS），
∴AG=GF；
（2）证明：∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥DF，
∴∠EGF=∠GFD，
由（1）知△GAD≌△GFD，
∴∠GFD=∠GAD，
∴∠EGF=∠GAD，
∴GF∥AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，通过证明一组三角形全等为另一组三角形的全等创造条件是解题关键．