Question

8．如图，△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE．
（1）求证：DC=BE；
（2）试判断∠AFD和∠AFE的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=∠BAE，根据SAS得出△DAC≌△BAE，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和DC=BE，根据面积公式求出AM=AN，根据角平分线的判定方法即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE．
（2）解：∠AFD=∠AFE，理由如下：
过A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图所示：
∵△DAC≌△BAE，
∴S_△ACD=S_△ABE，DC=BE，
∴$\frac{1}{2}$DC×AM=$\frac{1}{2}$BE×AN，
∴AM=AN，
∴点A在∠DFE的平分线上，
∴∠AFD=∠AFE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是推出△ACD≌△AEB，注意：到角两边距离相等的点在角的平分线上．