Question

已知△ABC中，∠A=x°
（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC=________°
（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，则用x表示∠BO₁C=________°
（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，则用x表示∠BO₁C=________°

Answer 1

解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，
∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（90+x）°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，
∴∠O₁BC=∠ABC，∠O₁CB=∠ACB，
∴∠O₁BC=∠ABC，∠O₁CB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=（180°-∠A），
∵∠BOC=180°-（∠O₁BC+∠O₁CB）=60°+∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（60+x）°；

（3）由（1）（2）可得规律为：
若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，
则用x表示∠BO₁C=（ +x）°．
故答案为：（1）90+x，（2）60+x，（3）+x．
分析：（1）由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，易得：2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，即可求得∠BOC的值；
（2）由∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，即可得∠O₁BC=∠ABC，∠O₁CB=∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，∠BO₁C+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，即可求得∠BO₁C的值；
（3）观察（1）（2），即可得规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，
则∠BO₁C=（ +x）°．
点评：此题考查了角的等分线的性质以及三角形内角和定理．注意找的规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，则用x表示∠BO₁C=（ +x）°，是解此题的关键．