Question

10．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A₁BC₁．如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P₁，线段EP₁长度的取值范围为$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}-2≤E{P_1}≤7$．

Answer 1

分析 由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，即可求得线段EP₁长度的最大值与最小值

解答 解：①如图1，过点B作BD⊥AC于点D，

∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
②如图2，

当P在AC上运动至点A，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BA₁+BE=5+2=7，
综上，线段EP₁长度的取值范围为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2≤EP₁≤7，
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2≤EP₁≤7．

点评 此题考查了旋转的性质以及三角函数的应用．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．