Question

3．已知：在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证：$\frac{1}{BC}$=$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{AB}$．

Answer 1

分析 延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连接ED．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．得到BE=BD，△BDE是等腰三角形，相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连接ED．
下面证明，△ADE∽△ABC．
设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，
则∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，
∴∠ACE=180°-4α=3α，
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
从而∠EAB=2α=∠EBA，AE=BE．
又由作图AE=AC，AE=BD，
∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，
∴∠D=∠BED=α=∠CAB，
∴△ABC∽△DAE，
即$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AB+AC}{AC}$=$\frac{AB}{BC}$
∴$\frac{1}{BC}$=$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{AB}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，能够利用其性质求解一些计算、证明问题．