Question

（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．
（1）请你写出四个不同类型的正确结论；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．

Answer 1

分析：（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角；由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，即BE=CE，

BD

=

CD

，由OD垂直于BC，AC也垂直于BC，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与AC平行；
（2）由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，由BE的长求出BC的长，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出半径OB与OD的长，在直角三角形BOE中，由OB与BE的长，利用勾股定理求出OE的长，由OD-OE即可求出DE的长．

解答：解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB=90°；BE=CE；

BD

=

CD

；OD∥AC；

（2）∵OD⊥BC，BE=4，
∴BE=CE=4，即BC=2BE=8，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
根据勾股定理得：AB=10，
∴OB=5，
在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，
根据勾股定理得：OE=3，
则ED=OB-OE=5-3=2．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定，熟练掌握定理是解本题的关键．