Question

【题目】已知，，直线MN经过点A．

(1)作，垂足为D，连结CD，在图①中补全图形，猜想的度数并证明；

(2)在直线MN绕点A旋转的过程中，当， 时，直接写出DC的长．

Answer 1

【答案】（1）=，理由见解析；（2）或

【解析】

(１)如图作，垂足为D，连结CD，连接AB，因为，所以A，B，C，D四点共圆，再根据同弦所对的圆周角相等，即可完成证明;

(2) 过D点作AC延长线的垂线，垂足为E;对MN与CB或MN与CB的延长线是否有交点进行分类讨论.然后运用四点共圆,圆周角定理以及勾股定理得知识解答即可.

解：（1）=，理由如下：

如图作，垂足为D，连结CD，连接AB，

∵

∴A，B，C，D四点共圆，

又∵，都是弦AC所对的圆周角

∴=

（2）①如图：过D点作AC延长线的垂线，垂足为E

∵A，B，C，D四点共圆，且∠BAD,∠BCD都是弦BD所对的圆周角

∴∠BAD=∠BCD=30°

又∵BD⊥MN，BD=

∴AB=2

在等腰直角三角形中，有勾股定理可得：AC=BC=2

在直角三角形ADB中，由勾股定理可得：AD=

又∵DE⊥AE

∴BC∥ED

∴∠CDE=∠BCD=30°

∴CD=2CE

设CE=x，CD=2x，由勾股定理得：ED=x

在直角三角形AED中，AE=2+x，ED=x,AD=

由勾股定理得：

解得x= 或（舍去）

所以CD=2CE=2x=

②如图：同理可得：CD=