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【题目】已知ABCD是⊙O上的四个点.

1)如图1,若∠ADC=∠BCD90°ADCD,求证:ACBD

2)如图2,若ACBD.垂足为EAB4DC6,求⊙O的半径.

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

1)根据题意不难证明四边形ABCD是正方形,从而得证;

2)连接DO,延长交圆OF,连接CFBF.根据直径所对的圆周角是直角,得∠DCF=∠DBF90°,则BFAC,根据平行弦所夹的弧相等,得,则CFAB.根据勾股定理即可求解.

1)∵∠ADC=∠BCD90°

ACBD是⊙O的直径,

∴∠DAB=∠ABC90°

∴四边形ABCD是矩形,

ADCD

∴四边形ABCD是正方形,

ACBD

2)连接DO,延长交圆OF,连接CFBF

DF是直径,

∴∠DCF=∠DBF90°

FBDB

又∵ACBD

BFAC,∠BDC+ACD90°

∵∠FCA+ACD90°

∴∠BDC=∠FCA=∠BAC

∴四边形ACFB是等腰梯形,

CFAB

根据勾股定理,得CF2+DC2AB2+DC2DF252

DF2

OD,即⊙O的半径为

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