Question

【题目】如图，在平面内直角坐标系中，直线y=-x+6分别于x轴、y轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称，点E为线段OB上一动点（不与O、B重合），CE的延长线与AB交于点D，过A、D、E三点的圆与y轴交于点F

（1）求A、B、C三点的坐标

（2）求证：BE·EF=DE·AE

（3）若tan∠BAE=，求点F的坐标

Answer 1

【答案】（1） A（6,0）；B（0,6）；C（-6,0）；（2）见解析；（3）（0，-2）.

【解析】分析：（1）利用直线y=-x+6可求得A、B的坐标，再利用对称可求得C点坐标；

（2）连接AF，可证得△BED∽△AEF，利用相似三角形的性质可证得结论；

（3）利用（2）中三角形相似，结合条件可求得∠BAE=∠FAO，在Rt△AOF中，利用三角函数定义可求得OF的长，则可求得F点的坐标．

详解：（1）在y=-x+6中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=6，

∴A（6，0），B（0，6），

∵点C与A关于y轴对称，

∴C（-6，0）；

（2）连接AF，由（1）可知OC=OA，

在△COE和△AOE中

,

∴△COE≌△AOE（SAS），

∴∠CEO=∠AEO，

∵∠CEO=∠BED，

∴∠BED=∠AEO，

∵四边形ADEF内接于圆，

∴∠BDE=∠EFA，

∴△BED∽△AEF，

∴，

∴BEEF=DEAE；

（3）∵△BED∽△AEF，

∴∠EAF=∠EBD，

∵OA=OB=6，∠AOB=90°，

∴∠ABO=∠OAB=45°，

∴∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠EAO=∠FAO+∠EAO=45°，

∴∠BAE=∠FAO，

∴tan∠FAO=tan∠BAE=，

∴，

∵OA=6，

∴OF=2，

∴F（0，-2）．