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【题目】如图,已知中,,点DAB的中点.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点BC点运动,同时,点Q在线段AC上由点AC点以4cm/s的速度运动.

1)若点PQ两点分别从BA两点同时出发,经过2秒后,是否全等?请说明理由;

2)若点PQ两点分别从BA两点同时出发,的周长为16cm,设运动时间为t,问:当t为何值时,是等腰三角形?

【答案】1BPDCQP是全等.理由见解析;(2)经过1秒或2秒或1.8秒时,CPQ是等腰三角形.

【解析】

(1)经过2秒后,PB=4m,PC=6m,AQ=8m,CQ=4m由已知可得BD=PC=6,BP=CQ=4,∠ABC=∠ACB,即据SAS可证得△BPD≌△CQP;

(2)可设点Q的运动时间为ts时△CPQ是等腰三角形,则可知PB=2tcm,PC=(10-2t)cm,AQ=4tcm,CQ=(12-4t)cm,再根据的周长为16cm,得出,据(1)同理可得当CP=CQ时,当PQ=PC时,当QP=QC时,△CPQ为等腰三角形,列出方程,从而求得t的值.

(1)△BPD与△CQP是全等.理由如下:

当P,Q两点分别从B,A两点同时出发运动2秒时有BP=2×2=4cm,AQ=4×2=8cm,

则CP=BC-BP=10-4=6cm,CQ=AC-AQ=12-8=4cm ,

∵D是AB的中点,

∴BD=AB=×12=6cm,

∴BP=CQ,BD=CP;

又∵△ABC中,AB=AC,

∴∠B=∠C ;

在△BPD和△CQP中

∴△BPD≌△CQP(SAS)

(2)设当P,Q两点同时出发运动t秒时,有BP=2t,AQ=4t,

∴t的取值范围为0<t≤3

则CP=10-2t,CQ=12-4t ,

∵△CPQ的周长为16cm,

∴PQ=16-(10-2t)-(12-4t)=6t-6

要使△CPQ是等腰三角形,则可分为三种情况讨论:

①当CP=CQ时,则有10-2t=12-4t,解得:t=1

②当PQ=PC时,则有6t-6=10-2t,解得:t=2;

③当QP=QC时,则有6t-6=12-4t,解得:t=1.8,

三种情况均符合t的取值范围.

综上所述,经过1秒或2秒或1.8秒时,△CPQ是等腰三角形.

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