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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.

(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;

(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示AMB的余切值;

(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2.顶点B坐标为(1,3).

(2)cotAMB=m﹣2.

(3)点Q的坐标为(,﹣)或(,﹣).

【解析】

试题分析:(1)依据抛物线的对称轴方程可求得b的值,然后将点A的坐标代入y=x2+2x+c可求得c的值;

(2)过点A作ACBM,垂足为C,从而可得到AC=1,MC=m2,最后利用锐角三角函数的定义求解即可;

(3)由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离,故此QP=3,然后由点QO=PO,QPy轴可得到点Q和P关于x对称,可求得点Q的纵坐标,将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值,则可得到点Q的坐标.

试题解析:(1)抛物线的对称轴为x=1,x=﹣=1,即 =1,解得b=2.

y=﹣x2+2x+c.

将A(2,2)代入得:﹣4+4+c=2,解得:c=2.

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2.

配方得:y=﹣(x﹣1)2+3.抛物线的顶点坐标为(1,3).

(2)如图所示:过点A作ACBM,垂足为C,则AC=1,C(1,2).

M(1,m),C(1,2),MC=m﹣2.cotAMB==m﹣2.

(3)抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在x轴上,

抛物线向下平移了3个单位.

平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1,PQ=3.

OP=OQ,点O在PQ的垂直平分线上.

QPy轴,点Q与点P关于x轴对称.

点Q的纵坐标为﹣

将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得:﹣x2+2x﹣1=﹣,解得:x= 或x=

点Q的坐标为(,﹣)或(,﹣).

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方差

中位数

众数

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2

8

7

女生

7.92

1.99

8

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