【题目】已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.
(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2.顶点B坐标为(1,3).
(2)cot∠AMB=m﹣2.
(3)点Q的坐标为(,﹣)或(,﹣).
【解析】
试题分析:(1)依据抛物线的对称轴方程可求得b的值,然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值;
(2)过点A作AC⊥BM,垂足为C,从而可得到AC=1,MC=m﹣2,最后利用锐角三角函数的定义求解即可;
(3)由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离,故此QP=3,然后由点QO=PO,QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称,可求得点Q的纵坐标,将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值,则可得到点Q的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,∴x=﹣=1,即 =1,解得b=2.
∴y=﹣x2+2x+c.
将A(2,2)代入得:﹣4+4+c=2,解得:c=2.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2.
配方得:y=﹣(x﹣1)2+3.∴抛物线的顶点坐标为(1,3).
(2)如图所示:过点A作AC⊥BM,垂足为C,则AC=1,C(1,2).
∵M(1,m),C(1,2),∴MC=m﹣2.∴cot∠AMB==m﹣2.
(3)∵抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在x轴上,
∴抛物线向下平移了3个单位.
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1,PQ=3.
∵OP=OQ,∴点O在PQ的垂直平分线上.
又∵QP∥y轴,∴点Q与点P关于x轴对称.
∴点Q的纵坐标为﹣ .
将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得:﹣x2+2x﹣1=﹣,解得:x= 或x=.
∴点Q的坐标为(,﹣)或(,﹣).
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【题目】为了让同学们了解自己的体育水平,初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数),成绩满分为10分,1班的体育委员根据这次测试成绩,制作了统计图和分析表如下:
初二1班体育模拟测试成绩分析表
平均分 | 方差 | 中位数 | 众数 | |
男生 | 2 | 8 | 7 | |
女生 | 7.92 | 1.99 | 8 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这个班共有男生人,共有女生人;
(2)补全初二1班体育模拟测试成绩分析表;
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【题目】如图,已知⊙O的半径长为1,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,联结OA、OC.
(1)求证:△OAD∽△ABD;
(2)当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;
(3)记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3,如果S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.
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【题目】如图,直线l1、l2相交于点A(2,3),直线l1与x轴交点B的坐标为(﹣1,0),直线l2与y轴交于点C,已知直线l2的解析式为y=2.5x﹣2,结合图象解答下列问题:
(1)求直线l1的解析式;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】随着“一带一路”建设的不断发展,我国已与多个国家建立了经贸合作关系,2017年中哈铁路(中国至哈萨克斯坦)运输量达12800000,将12800000用科学记数法表示为_____.
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【题目】某班级45名同学自发筹集到1700元资金,用于初中毕业时各项活动的经费.通过商议,决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照,其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品.已知每件文化衫28元,每本相册20元.
(1)适用于购买文化衫和相册的总费用为W元,求总费用W(元)与购买的文化衫件数t(件)的函数关系式.
(2)购买文化衫和相册有哪几种方案?为了使拍照的资金更充足,应选择哪种方案,并说明理由.
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