Question

【题目】如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．

（1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC= ．（3）OD=．

【解析】

试题分析：（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；

（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题；

试题解析：（1）如图1中，

在△AOB和△AOC中， ，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．

（2）如图2中，

∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，

在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=OA=，∴AD= = ，∴BC=AC=2AD= ．

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．

∵△DAO∽△DBA，∴ ,∴，∴AD= ，AB= ，

∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1S3，

∵S2=ADOH，S1=S△OAC=AC﹒OH，S3=CD﹒OH，∴（AD﹒OH）2=AC﹒OH﹒CD﹒OH，

∴AD2=ACCD，

∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，

∴（）2=（﹣），

整理得x2+x﹣1=0，

解得x= 或，

经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，

∴OD=．