Question

5．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC，垂足为点H，交EG于点M．求证：EM=MG．

Answer 1

分析 利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=MG．

解答 解：过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图所示：
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
在△ABH和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠EAP}&{\;}\\{∠AHB=∠P=90°}&{\;}\\{AB=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴EP=AH，
同理可得：GQ=AH，
∴EP=GQ，
在△EPM和△GQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠MQG}&{\;}\\{∠EMP=∠GMQ}&{\;}\\{EP=GQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=MG．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质的运用；通过作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．