Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB至点F，使BF=BD连接AF．

（1）求证：AF=CD．

（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC，AF，AE三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) AC=AF+AE，证明见解析

【解析】

(1)取AC的中点E，连接DE，根据题目已知条件可以证得△ABD≌△AED，再利用全等三角形的性质，可以证得△AFB≌△CDE，即可得出结论；

(2) 在AC上取一点M，使得AM=AE，根据AD是∠BAC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，可以得出∠AOE=60°，根据条件可以证得△AEO≌△AMO，利用全等三角形的性质可以证得△COD≌△COM，故可以得出结果．

(1)证明：如图所示，取AC的中点E，连接DE，

∵AC=2AB，

∴AB=AE=EC，

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠DAC，

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED，

∴∠ABD=∠AED，DB=DE，

∴∠ABF=∠DEC，

∵FB=BD，

∴FB=DE，

在△AFB和△CDE中

△AFB≌△CDE，

∴AF=DC．

(2)猜想：AC=AF+AE，

证明：如图所示，在AC上取一点M，使得AM=AE

∵AD是∠BAC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，

∴∠BAD=∠DAC，∠ACE=∠ECB，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC+∠ACB=120°，

∴∠ACE+∠OAC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴∠AOE=60°，

在△AEO和△AMO中

∴△AEO≌△AMO，

∴∠AOE=∠AOM=60°，

∴∠MOC=60°，

∵∠AOE=∠DOC，

∴∠DOC=60°，

在△COD和△COM中

∴△COD≌△COM，

∴CM=CD，

由题(1)知CD=AF，

∴AF=CM，

∴AC=AM+MC=AE+AF．