Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；
（2）当m取不同值时，试猜想△BCM与△ABC的面积比是否发生变化？若不发生变化，请你求出这个比；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积

专题：计算题

分析：（1）利用配方法得到y=m（x-1）²-4m，顶点M的坐标为（1，-4m），再根据抛物线与x轴的交点问题求得A（-1，0），B（3，0）；
（2）先确定C（0，-3m），根据三角形面积公式可计算出S_△ABC=6m，作MD⊥x轴于D，如图，利用∴S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BDM-S_△BCO可计算出△BCM的面积，然后计算它们的比值即可判断是否发生变化．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m），
∵mx²-2mx-3m=0的解为x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）△BCM与△ABC的面积比不发生变化．理由如下：
∵当x=0时，y=mx²-2mx-3m=-3m，
∴C（0，-3m），
∴S_△ABC=

1

2

•（3+1）•3m=6m，
作MD⊥x轴于D，如图，则OD=1，BD=2，MD=4m，
∴S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BDM-S_△BCO
=

1

2

•（3m+4m）•1+

1

2

•2•4m-

1

2

•3•3m
=3m，
∴S_△BCM：S_△ABC=3m：6m=1：2．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．