Question

如图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是     ，b＝   ，c＝    ；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）（0，－3），－，－3；（2）｜4－8t｜；（3）t₁＝－1，t₂＝，t₃＝

试题分析：（1）由于直线y＝x－3过C点，因此C点的坐标为（0，-3），那么抛物线的解析式中c=-3，然后将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b的值；
（2）求QH的长，需知道OQ，OH的长．根据CQ所在直线的解析式即可求出Q的坐标，也就得出了OQ的长，然后求OH的长．在（1）中可得出抛物线的解析式，那么可求出B的坐标．在直角三角形BPH中，可根据BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的长，根据OB的长即可求出OH的长．然后OH，OQ的差的绝对值就是QH的长；
（3）本题要分①当H在Q、B之间．②在H在O，Q之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t的值．
（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．
（2）由（1），得y＝x²－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，
又∵OC＝3，
∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，
∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①当H在Q、B之间时，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．
②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，解得t＝
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，解得t₁＝－1，t₂＝－－1（舍去）．
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，解得t＝．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，解得t₁＝t₂＝1（舍去）．
综上所述，存在的值，t₁＝－1，t₂＝，t₃＝．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．